integracion por partes

 el día sábado 03 de Diciembre del 2022 iniciamos con la clase de cálculo integral con el tema de integración por partes, en el cual conocimos las técnicas de integración.

La integración por partes es un método para obtener integrales de productos:

$\displaystyle\int \!\!u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int\!\! u'(x)v(x)dx$integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x

o de manera más compacta:

$\displaystyle\int u\ dv = uv-\int v\ du$integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u

Podemos usar este método, que se puede considerar como el inverso de la "regla del producto," al considerar uno de los dos factores como la derivada de otra función.

Obtengamos, por ejemplo, la integral indefinida $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. Para hacer esto, hagamos $u = x$u, equals, x and $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx=\int u\,dv$integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v

$u=x$u, equals, x significa que $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x significa que $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

¡Ahora integramos por partes!

$$\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}

 

para mas informacion ver los siguientes videos.

bibliografia

• Leithold, L. (1998). El Cálculo 7a Edición. México: Oxford University Press - Harla México S.A de C.V.
• Ron Larson, R. P. (2006). Cálculo con geometría analítica 8va. Edición. México: McGraw - Hill.
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.