integracion por cambio de variable

 el dia sabado 08 de octubre del 2022 iniciamos con el tema de integracion por el cambio de variable en la clase de calculo integral y esto es lo que mas me llamo la atencion de dicha clase.


Pasos para integrar por cambio de variable

 

\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx

 

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

t=u

dt={u}'\, dx

 

2Se sutituye la diferencial en la integral:

 

\displaystyle \int {f}'(t)\cdot {u}' dx=\int {f}'(t)\, dt

 

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

 

\displaystyle \int {f}'(t)\, dt=f(t)+\textup{C}

 

4 Se vuelve a la variable inical:

 

f(t)+\textup{C}=f(u)+\textup{C}

 

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral

 

\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}}\, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable

 

\sqrt[3]{1 + 2x} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 1+2x=t^{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\cfrac{t^{3}-1}{2}

 

Calculamos la diferencial

 

2\, dx=3t^{2}\, dt \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ dx=\cfrac{3t^{2}\, dt}{2}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \cfrac{t^{3}-1}{2} \right )^{2}}{t} \cdot \cfrac{3t^{2}}{2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{2} \int \left ( \cfrac{t^{6}-2t^{3}+1}{4} \right ) \cdot t \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt \end{array}

 

3Resolvemos la nueva integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt & = & \cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t=\sqrt[3]{1+2x}

 

\cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}

 

Así la solución buscada es

 

\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}

 




bibliografia

  • Conde Sánchez, C. (1991): "Cálculo integral vectorial". Tebar Flores.
  • Coquillat, F. (1980): "Cálculo integral. Metodología y problemas". Tebar Flores.
  • Díaz Hernando, Juan Ángel (): "Cálculo integral. Integrales y series". Tebar Flores.
  • Edwards, C. H. Jr.; Penney, David E.: (1996): "Cálculo con Geometría Analítica". Prentice Hall.
  • Enríquez (): "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas.
  • Granville (): "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas.


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