calculo de area entre curvas

 en esta clase del sabado 22 de octubre del 2022 vimos el siguiente tema:

Área entre Curvas

 

encontre los siguientes ejemplos que me parecen muy importantes para la comprension del tema.

Calculemos el área sombreada en la figura:

 

 

Se puede calcular como una diferencia de áreas: el área debajo de g$g$ menos el área debajo de f$f$, ¿qué significa esto? Bueno, veámoslo con un simple ejemplo genérico:

 

A=∫bag(x)dx−∫baf(x)dx=∫ba[g(x)−f(x)]dx$$A={\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b[g(x)-f(x)]dx$$

 

Es decir, simplemente haga la integral de la función que está arriba menos la integral de la función que está debajo.

pero en la tarea, el profesor nos dejo un ejercicio como el siguiente ejemplo:

División en diferentes intervalos

 

Habrá algunos casos donde las dos funciones se cruzaran, y en primer lugar una estará arriba, pero luego estará abajo. Este problema se resuelve simplemente separando la integral en los puntos donde se cruzan. Veamos un ejemplo para entenderlo:

 

Por ejemplo, en este gráfico a continuación, las funciones se cruzan:

 

 

Observen que en el intervalo [a,c]$[a,c]$ la función g(x)$g(x)$ está arriba y la función f(x)$f(x)$ está abajo. Y en el intervalo [c,b]$[c,b]$ ocurre lo inverso: f(x)$f(x)$ está arriba de g(x)$g(x)$.

 

Por tanto, tenemos:

 

A=∫ca[g(x)−f(x)]dx+∫bc[f(x)−g(x)]dx$$A={\int }_a^c[g(x)-f(x)]dx+{\int }_c^b[f(x)-g(x)]dx$$

 

¿Se entendió? El punto c$c$ marca la separación de las dos integrales, porque siempre tenemos que respetar que es la integral entre la función de arriba menos la función de abajo.

si deseas mas informacion y ejemplos del tema te dejo los siguientes videos.

imagen de ayuda visual

bibliografia

• Díaz Hernando, Juan Ángel (): "Cálculo integral. Integrales y series". Tebar Flores.
• Edwards, C. H. Jr.; Penney, David E.: (1996): "Cálculo con Geometría Analítica". Prentice Hall.
• Enríquez (): "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas.